HiYngaの随记

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![图三](./3.webp "图三")
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![图四](./4.webp "图四")
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::::note[说明]
2
这里是一段补充说明内容。
3
::::
4

5
::::warning[提醒]
6
这里是一段提醒内容。
7
::::

1
::::math-compact[单行紧凑公式]
2
$$
3
\operatorname{softmax}(\boldsymbol{z})_i
4
= \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^{K} e^{z_j}}
5
$$
6
::::

1
::::math-cols[双栏并排公式]
2
:::math-col[损失函数]
3
$$
4
\mathcal{L}_{\mathrm{CE}}
5
= - \sum_{k=1}^{K} y_k \log \hat{y}_k
6
$$
7
:::
8

9
:::math-col[预测规则]
10
$$
11
\hat{y}
12
= \argmax_{k \in \set{1,\dots,K}} p_\theta(y=k \mid \boldsymbol{x})
13
$$
14
:::
15
::::

1
::::theorem[一阶最优性条件]
2
若函数 $f$ 在 $x^\star$ 处可微，且 $x^\star$ 是无约束局部极小点，则
3

4
$$
5
\nabla f(x^\star) = 0
6
$$
7
::::
8

9
::::lemma[均值向量的线性性]
10
若随机向量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 具有有限期望，且 $a,b \in \RR$，则
11

12
$$
13
\mathbb{E}[a\boldsymbol{X} + b\boldsymbol{Y}]
14
= a\,\mathbb{E}[\boldsymbol{X}] + b\,\mathbb{E}[\boldsymbol{Y}]
15
$$
16
::::

1
::::math-long[长公式单行滚动]
2
$$
3
\operatorname{KL}\!\bigl(q_\phi(\boldsymbol{z}\mid\boldsymbol{x}) \,\|\, p(\boldsymbol{z})\bigr)
4
- \mathbb{E}_{q_\phi(\boldsymbol{z}\mid\boldsymbol{x})}\!\left[\log p_\theta(\boldsymbol{x}\mid\boldsymbol{z})\right]
5
+ \lambda \sum_{l=1}^{L} \left\lVert \mathbf{W}^{(l)} \right\rVert_F^2
6
+ \beta \sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{K} y_{ik}\log\frac{y_{ik}}{\hat{y}_{ik}}
7
$$
8
::::

1
```plantuml
2
@startuml
3
Alice -> Bob: Hello
4
Bob --> Alice: Hi
5
@enduml
6
```
7

8
```puml
9
@startuml
10
Alice -> Bob: Alias works
11
@enduml
12
```
13

14
```uml
15
@startuml
16
Bob -> Alice: Alias works too
17
@enduml
18
```

1
// 此代码块将显示行号
2
console.log('来自第2行的问候!')
3
console.log('我在第3行')

// 此块禁用行号
console.log('你好?')
console.log('抱歉，你知道我在第几行吗?')

5
console.log('来自第5行的问候!')
6
console.log('我在第6行')